Physik für alle

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Abkürzungen

Liste der Symbole

Vorwort

Viele von uns empfinden eine gewisse Abneigung, wenn sie das Wort Physik nur hören. Wir denken an lange Stunden des Schulunterrichts, die uns in schmerzhafter Erinnerung sind. Viele Formeln sollte man sich merken, in die man Zahlen einsetzen konnte, um andere Zahlen herauszubekommen. Wozu das alles?

Glauben Sie mir, ich mag diese Art des Unterrichts auch nicht. Nichts ist darin zu finden von der Faszination, die die Physik ausübt. Wo bleibt die Freude, einen Zusammenhang nachvollziehen zu können? Was ist mit dem Gefühl der Zufriedenheit, das uns erfüllt, wenn es gelungen ist, einen komplexen Vorgang gedanklich in einzelne Schritte zu zerlegen, die wir verstehen können? Physiker sind in der Industrie in vielen verschiedenen Aufgabenfeldern zu finden, nicht zuletzt auch im Consulting. Das tun sie nicht, weil sie sich physikalische Formeln besonders gut merken können. Vielfach arbeiten sie in Bereichen, die weit weg liegen von den Forschungsfragen, die das Thema ihrer Master- oder Doktorarbeiten waren. Die dort behandelten Formeln sind daher im Berufsleben oft gar nicht mehr relevant. Es ist vielmehr die Fähigkeit, komplexe Dinge zu behandeln und Gegebenes zu hinterfragen, die den Physiker auszeichnet. Wenn wir in diesem Buch die Entwicklung der Physik bis zur heutigen Zeit nachvollziehen, werden wir gleichzeitig sehen, wie sich Physiker einem Problem nähern, welche Fragen sie stellen und wie sie aus einer Auswahl von Lösungsvorschlägen den vielversprechendsten auswählen.

Mathematik ist auch heute noch die Sprache der Physik, mit der sich Zusammenhänge in kompakter Form darstellen lassen. Mathematik ist allerdings auch eines der größten Hindernisse, das für viele, oft interessierte Menschen den Zugang zur Physik erschwert. In diesem Buch wollen wir weitgehend ohne Mathematik auskommen, wenn auch nicht ganz. Neben der Geometrie werden wir uns Algebra zunutze machen, die Lehre von den Gleichungen und der Verknüpfung mathematischer Strukturen. Dies klingt komplizierter als es ist. Letzten Endes ist jede physikalische Formel eine Gleichung. Eine physikalische Größe ist gleich einer Kombination anderer Größen, wobei die Rechenvorschrift, also die Verknüpfung dieser Größen durch Addieren, Multiplizieren oder Dividieren in der Formel angegeben ist.

Der Wert einer Formel liegt aber nicht darin, dass man Zahlen in sie einsetzen kann. Wir werden dies daher in diesem Buch auch nicht tun. Uns interessieren die logischen Zusammenhänge, die den Formeln zugrunde liegen. Wir wollen nachvollziehen, wie aus Konzepten verschiedene Konsequenzen logisch abgeleitet und überprüft werden. Diese Überprüfung kann es in sich haben und Widersprüche aufzeigen, die zum Verfeinern und schlimmstenfalls zum Verwerfen von Konzepten führen kann. Es gibt keinen Aspekt physikalischer Forschung, der sich der Kritik entziehen kann, denn wir vertrauen keinem physikalischen Gesetz so sehr, dass wir die Möglichkeit begrenzter Gültigkeit jemals ausschließen würden. Der wichtigste Grundsatz ist daher: Alles, was Sie in diesem Buch lesen werden, kann falsch sein.

Das logische Weiterdenken, das Gedankenspiel „…was wäre, wenn …“ ist die Grundlage der Entwicklung und der Überprüfung physikalischer Konzepte und Modellvorstellungen. Dies ist, was wir lernen und anwenden müssen, wenn wir verstehen wollen, wie Physik als Wissenschaft funktioniert. Ich habe mir erlaubt an einigen Stellen in diesem Buch solche Überlegungen vorzuführen, die für das Kapitel nicht immer von zentraler thematischer Bedeutung erscheinen, aber Querverbindungen aufzeigen und letztlich das Durchdenken der Konzepte illustrieren, das für die Physik so wesentlich ist.

Dieses Buch ist aus einer gleichnamigen Vorlesung entstanden, die der Autor seit dem Jahr 2010 an der Universität Potsdam hält. In den ersten Jahren wurde ein englischsprachiger Begleittext benutzt [1], der nun durch dieses Buch ersetzt wird. Die einzelnen Kapitel sind mit Ausnahme des ersten als in sich abgeschlossene Themenblöcke konzipiert, die jeweils die Grundlage für eine 90-minütige Vorlesung liefern können. Ich habe es immer als sinnvoll empfunden, den Text kapitelweise in der Woche vor der jeweiligen Vorlesung lesen zu lassen. Benutzt man ein internetbasiertes Lernportal, kann man ebenfalls vor der Vorlesung mit ein paar Fragen den Verständnisstand ermitteln und auf Defizite verstärkt eingehen.

Die Fragen am Ende jedes Kapitels gehen über reine Verständnisfragen hinaus und erfordern zum Teil etwas Einsatz. Verzweifeln Sie bitte nicht, wenn Sie nach einigen Minuten die Lösung noch nicht gefunden haben. Bleiben Sie bitte innerlich stark und sehen Sie nicht gleich bei den Lösungen nach. Es hilft oft, sich zurückzulehnen und aufzuschreiben, was denn die in der Fragestellung gegebene Information genau bedeutet und wonach gefragt wird. Ich bin mir sicher, Sie werden mit sich zufrieden sein, wenn Sie dann eine Aufgabe nach längerem Überlegen beantwortet haben.

Mein herzlicher Dank geht an Dr. Oliver Henneberg, dessen unermüdlicher Einsatz im Aufbau und der Durchführung von Demonstrationsexperimenten die Abbildungen 6.1, 7.7, 8.7, 8.9,12.3 sowie das Titelbild ermöglichte. Meiner Frau Darija danke ich für ihre Unterstützung sowie das Korrekturlesen.

Aufgabe und historische Entwicklung der Physik

1.1 Physik, Philosophie und Religion

Nicht nur die Naturwissenschaften, allen voran die Physik, haben den Anspruch, die Welt zu erklären. Nein, auch die Philosophie und die Religionen behaupten für sich, sie würden Wahrheiten liefern, vielleicht sogar ewige Wahrheiten. Was ist davon zu halten? Besteht hier ein Konflikt, und hat vielleicht nur eine Seite recht?

Das Verhältnis zwischen Wissenschaft, Philosophie und Religion ist über die Jahrhunderte hinweg von Missverständnissen belastet worden, die Menschen dazu gebracht haben, einzelne oder vielleicht auch alle drei Parteien zu verurteilen. Viele denken, Naturwissenschaften und Religion würden sich gegenseitig ausschließen. Das kann aber nicht ganz richtig sein, denn eine ganze Reihe von Physikern ist religiös. Bevor wir uns näher mit der Physik beschäftigen, möchte ich zunächst einige Punkte im Spannungsfeld von Physik, Philosophie und Religion ansprechen. Es wäre gut, wenn das eine oder andere Missverständnis oder Vorurteil aus dem Weg geräumt werden könnte.

Wenn Sie Wissenschaft, Philosophie und Religion plakativ beschreiben sollten, würden Sie vielleicht in etwa das Folgende sagen:

Oberflächlich betrachtet scheint die Sache klar zu sein: Wenn ein oder mehrere Götter vorkommen, ist es Religion. Wenn es nur um die Natur geht, ist es Wissenschaft. Diese Unterscheidung ist nicht ganz falsch, aber bei Weitem zu kurz gegriffen. Oft hört man auch, dass Religion und Philosophie einen moralischen oder ethischen Bewertungsmaßstab lieferten, den man in der Wissenschaft so nicht fände. So erforschen Physiker Atomkerne und sprechen ohne Bedenken darüber, wie durch die Spaltung von Urankernen Energie gewonnen werden könne. Dies wird als unmoralisches Verhalten empfunden, weil die Kernspaltung in einer Atombombe zerstörerisch genutzt werden und in der friedlichen Anwendung im Kernkraftwerk zu Katastrophen wie der von Tschernobyl führen kann. Aber trifft dies wirklich zu? Es empfiehlt sich, nicht gleich alles zu glauben, was man so hört. Schauen wir also einmal genau hin. Meine beiden Beispiele, die Atombombe und der Atomreaktor, haben starke moralische Bedenken hervorgerufen. Es ist eine schwierige ethische Frage, zu beurteilen, ob man ihren Bau verantworten kann. Die Kernspaltung aber existiert unabhängig davon, ob wir Bomben oder Reaktoren bauen. Sie ist nicht dafür verantwortlich zu machen, ob wir sie zerstörerisch nutzen oder nicht. Genau genommen existierte die Kernspaltung schon seit Milliarden von Jahren, bevor sie von Physikern und Chemikern entdeckt wurde. Entdecken heißt etwas anderes als erfinden. Wir erfinden ein Telefon, aber wir entdecken ein physikalisches Gesetz wie das der Energieerhaltung. Wir bauen Geräte, die physikalische Phänomene anwenden. Die Anwendung kann man als gut oder schlecht bewerten, das physikalische Phänomen selber aber nicht. Es entzieht sich der Bewertung, weil es einfach nur da ist. Einen ethischen Maßstab brauchen wir nur für das, was wir mit den Ergebnissen der Physik anstellen.

Ich sehe, dass Sie mir das Argument nicht abnehmen wollen. Sie vermuten, ich wolle die Physik ihrer Verantwortung entziehen. Lassen Sie es mich daher mit einem zweiten Thema versuchen zu erklären, das Ihnen vermutlich etwas nähersteht und in dem ihre Perspektive eine andere ist, der Sexualität. Sexualität als solche ist weder gut noch schlecht, ebenso sind unsere Ausprägungen als Mann oder Frau weder gut noch schlecht und das eine nicht besser als das andere. Die wesentliche Frage ist, was Sie mit Ihrer Sexualität machen, wie Sie sie anwenden. Über die Kulturkreise und die Jahrhunderte hinweg sind Menschen zu verschiedensten ethischen Bewertungen gekommen. So gilt heute Päderastie als schlimmes Verbrechen, während es im antiken Griechenland als wesentlicher Teil der Initiation eines Jungen zum erwachsenen Mann galt. Ich bin mir sicher, dass Sie Ihr eigenes moralisches Empfinden haben, wie wir mit unserer Sexualität umgehen sollten. Aber das ist es eben: wie wir damit umgehen, wie wir sie anwenden. Sie sehen, es gilt das gleiche Argument wie für die Physik. Die Sache als solche ist nicht ethisch bewertbar, sondern nur das, was wir daraus machen.

Kommen wir zurück zur Unterscheidung zwischen Wissenschaft und Philosophie. Sind Sie mit meiner Definition einverstanden, die Philosophie sei die Suche nach dem Verständnis der wahren Natur der Dinge? Diese Erklärung wäre vollkommen sinnlos, wenn wir nicht vorher geklärt hätten, was wir denn unter der „wahren Natur der Dinge“ verstehen. Sie wäre eine leere Worthülse, mit der Sie sich nicht abspeisen lassen sollten. Um was geht es also?

Lassen Sie mich fragen: „Was ist eigentlich eine Rose?“ Wie würden Sie antworten? Würden Sie sagen, eine Rose sei eine Strauchpflanze, die über Dornen verfügt, einen angenehmen Duft verströmt und wunderschöne Blüten trägt? Wir können die gesamte pflanzenkundliche Beschreibung durchgehen, aber es werden nur Äußerlichkeiten sein, die Sie mir nennen. Wir können über den inneren Aufbau sprechen, über die Atome und Moleküle, aus denen die Rose aufgebaut ist. Die allermeisten dieser Moleküle finden wir auch in anderen Pflanzen. Was also ist das Rosenhafte an der Rose?

Diese Frage ist alt. Schon die griechischen Philosophen, beispielsweise Platon, haben zwischen dem eigentlichen Wesen, oder der Substanz, und der äußeren Form, oder Existenz, unterschieden. Alles Körperliche, Greifbare ist äußere Form. Das innere Wesen, zum Beispiel die Seele, zählt zur Substanz. In der katholischen Dogmatik findet sich die Unterscheidung wieder: Es heißt, im Sakrament der Wandlung ändere sich nicht die äußere Form der Hostie, sondern nur deren innere Substanz.

Ich schrieb zu Beginn, viele Physiker seien gläubig. Sie sind allerdings nicht gutgläubig. In der Physik legen wir Wert darauf, dass unsere Konzepte und Modellvorstellungen überprüfbar sind. Die innere Substanz entzieht sich der Beobachtung. Wir können nur die äußere Form vermessen und beschreiben. Überlassen wir also zunächst die Beurteilung des inneren Wesens der Philosophie und den Religionen. Die Physik nimmt sich das Verständnis der zumindest prinzipiell beobachtbaren, natürlichen Vorgänge zum Ziel. Dies bedeutet nicht, dass Physiker der Natur vollkommen emotionslos gegenüberstehen würden. Im Gegenteil, die meisten empfinden eine tiefe Faszination und Respekt vor der Natur, ihrer Ordnung, aber auch ihrer Schönheit.

1.2 Messung und Vorhersage

Schon vor 5000 Jahren gab es in Sumer (im Süden des heutigen Irak) und in China Observatorien, mit denen die Bewegungen von Sonne, Mond und Sternen am Himmel beobachtet werden konnten. Der Lauf der Planeten hat immer schon eine Faszination auf die Menschen ausgeübt. Man hat in der Anordnung der Sterne am Himmel Bilder gesehen, die mit den Mythen der jeweiligen Kulturen verbunden waren. Moderne Planetariumssoftware¹⁾ vermittelt einen Eindruck davon, wenn sie beispielsweise polynesische Sternbilder aufrufen.

Im Vordergrund stand natürlich die praktische Anwendung, die Entwicklung von Kalendern und, bei den seefahrenden Völkern, die Navigation. Dafür kann man praktisch alles heranziehen, was sich in festen, unveränderlichen Zyklen abspielt. Die Zeitspanne von einem Sonnenuntergang zum nächsten ist ein Tag, die Periode zwischen zwei Vollmonden nennen wir einen Monat, und die Zeitdauer zwischen zwei Sommersonnenwenden bezeichnen wir als ein Jahr. Egal ob Sie einen solaren oder lunaren Kalender entwerfen, also einen auf die Sonne oder auf den Mond bezogenen Zeitabschnitt zugrunde legen, Sie benutzen messbare, wiederkehrende Ereignisse als Maßstab, um regelmäßig eintreffende Ereignisse wie zum Beispiel die Nilschwemme im alten Ägypten vorherzusagen. Wenn wir einen solchen zeitlichen Maßstab einmal haben, können auch längere Perioden eindeutig beschrieben werden. So gelang es, den Meton-Zyklus zu finden, demzufolge 19 Sonnenjahre fast genau 235 Mondperioden entsprechen, sich die Daten der Vollmonde also alle 19 Jahre wiederholen. Ähnlich lang ist der Saros-Zyklus, demzufolge sich nach etwas mehr als 18 Jahren Sonnen- und Mondfinsternisse wiederholen. Derartige Zyklen zu finden ist eine erhebliche Leistung, weil wir hier von Perioden sprechen, die ähnlich lang wie die durchschnittliche Lebensarbeitszeit der damaligen Gelehrten sind. Die Überlieferung präziser Zeitangaben mittels eines funktionsfähigen Kalenders war eine wesentliche Voraussetzung. Eine schöne Geschichte besagt, dass im Jahre 585 v. Chr. im Krieg zwischen Lydien und Medien die Schlacht am Halys (im Osten der heutigen Türkei, der heutige Name ist Kizilirmak) durch eine Sonnenfinsternis beendet wurde. Der Ihnen wahrscheinlich wegen des Satz des Thales aus dem Mathematikunterricht bekannte Thales von Milet hatte die Finsternis vorhergesagt, und die Lydier, die mit Milet verbündet waren, hatten daraufhin die Schlacht am vorhergesagten Tag beginnen lassen, um das Ereignis zur Verunsicherung der Gegner nutzen zu können. Diese Geschichte ist ein Beispiel dafür, dass natürliche Ereignisse vorhergesagt werden können, wenn das ihnen zugrunde liegende Prinzip verstanden ist.

Wir wissen, dass griechische Gelehrte zwischen 600–200 v. Chr. wesentliche Ideen und Einsichten entwickelten, die den Übergang von einer Naturphilosophie zu einer Wissenschaft markieren. Die beiden wesentlichen Hilfsmittel waren Logik und Geometrie, also Mathematik. Lassen Sie mich eine Liste von fünf berühmten Köpfen und ihren Leistungen erstellen, beginnend mit dem frühesten.

Pythagoras (6. Jh. v. Chr.): Einsicht, dass die Erde in etwa die Gestalt einer Kugel hat.

Demokritos (5. Jh. v. Chr.): Entwicklung der Vorstellung, dass die Materie aus unteilbaren Atomen aufgebaut ist.

Aristarchos von Samos (3. Jh. v. Chr.): Erstes heliozentrisches Weltbild, das die Erde in einer Umlaufbahn um die Sonne sieht.

Egal, ob wir uns Pythagoras oder Aristarchos ansehen, alle haben hervorragende wissenschaftliche Leistungen vollbracht. Heutzutage neigt man dazu, die frühen Forscher zu übergehen. Alles, was damals erarbeitet wurde, zählt heute zum Allgemeinwissen, und daher muss es doch banal sein, denkt man. Dies ist ein Irrtum, denn die Einsichten mussten erst einmal entwickelt werden. Ein direkter Nachweis war nicht möglich, und daher war es notwendig, verschiedene Beobachtungen logisch miteinander zu verbinden. Ich will es noch etwas deutlicher machen. Wie würden Sie mir beweisen, dass die Erde in etwa die Gestalt einer Kugel hat? Argumentieren Sie bitte nicht mit Satellitenbildern oder Magellans Weltumsegelung, denn all dies gab es erst mehr als 2000 Jahre nach Pythagoras. Gar nicht so einfach, nicht wahr? Es schadet also nicht, ein wenig Respekt vor den frühen Forschern zu haben und sie nicht zu übergehen.

Die Kugelgestalt der Erde lässt sich durch die Form des Erdschattens bei Mondfinsternissen belegen. Der Erdschatten hat die Form einer Scheibe. Nur eine Kugel würde in alle Richtungen einen scheibenförmigen Schatten werfen, und daher muss die Erde kugelförmig sein. Sie können sogar sehen, dass der Erdschatten deutlich größer ist als der Mond, woraus folgt, dass auch die Erde größer ist als der Mond.

Abb. 1.1 Sonnenstrahlen treffen in Syene (S) und in Alexandria (A) parallel ein, im südlichen Syene aus Zenitrichtung, im nördlicheren Alexandria in einem Winkel a zum Zenit. Die gestrichelten Linien vom Erdmittelpunkt zu den beiden Orten bilden den gleichen Winkel a.

Besonders herausheben möchte ich Eratosthenes, weil er nicht nur eine qualitative, sondern eine quantitative Aussage macht, also nicht nur Eigenschaften beschreibt, sondern auch in Zahlen ausdrückt. Eratosthenes nutzte für seine Messung des Erdumfangs einige Einsichten, die zu seiner Zeit bereits bekannt waren. Die erste ist die Kugelgestalt der Erde. Dies bedeutet insbesondere, dass eine in Nord-Süd-Richtung verlaufende Linie auf der Erdoberfläche (denken Sie an die Linien gleichen Längengrads auf dem Globus) ein Teil eines Kreises ist, dessen Mittelpunkt auch der Mittelpunkt der Erde ist, eines sogenannten Großkreises. Mit anderen Worten, der Radius des Kreises ist der Erdradius, und der Umfang des Kreises ist der Erdumfang. Die zweite Einsicht ist, dass sich Licht geradlinig oder strahlenförmig ausbreitet. Man wusste bereits, dass die Sonne sehr weit von der Erde entfernt ist, Lichtstrahlen von der Sonne also parallel auf die Erde auftreffen. In der ägyptischen Stadt Syene kann man zum Zeitpunkt der Sommersonnenwende gegen Mittag keinen Schattenwurf eines senkrechten Stabs sehen. In der nördlich gelegenen Stadt Alexandria beobachtet man aber einen Schatten, aus dessen Länge im Vergleich zur Höhe des Stabs man berechnen kann, dass die Sonne etwa 7° südlich vom Zenit (senkrecht über dem Beobachter) steht. Mit anderen Worten, Alexandria liegt 7° nördlich von Syene. Diese Situation ist in Abb. 1.1 schematisch dargestellt. Die Entfernung zwischen beiden Städten kann man messen, und sie steht zum Erdumfang im gleichen Verhältnis wie 7° zu den 360° eines vollen Kreises. In modernen Einheiten berechnete Eratosthenes den Erdumfang als 42 000 km, das sind nur etwa 5 % mehr als der moderne Wert.

Die Griechen entwickelten auch Vorstellungen zu anderen Fragen, beispielsweise der Schwerkraft. Nach Aristoteles war die Erde nicht das Zentrum der Welt, sie befand sich nur im Zentrum. Seine Vorstellung war, dass Schweres, also Materie, immer zum Zentrum gezogen wird, während Leichtes, also Licht und Flammen, aufsteigt. Zur Materie gehört auch Schmutz, und so befindet sich die Erde im schmutzigen Teil der Welt, ist also unrein. Dazu passt, dass die Unterwelt eben unten, die Götter aber hoch im Himmel zu finden waren.

Ein Großteil des Wissens der Antike ist verlorengegangen. Kriege, Religionsstreitigkeiten und politische Wirren haben dazu beigetragen. Das altgriechische Wissen ist interessanterweise durch die Tätigkeit arabischer Gelehrter, beispielsweise Ibn Rushd (auch bekannt als Averroes) in Andalusien, wieder zu uns zurückgekommen. Welche Leistungen in Sumer oder von den Azteken vollbracht wurden, wissen wir nicht.

1.3 Wahrheit

Freunde amerikanischer Kriminal- und Gerichtsfilme haben diese Formulierung des Zeugeneids gewiss schon zur Genüge gehört. Aber was ist das eigentlich, die Wahrheit? Was ist der Unterschied zwischen der Wahrheit und der ganzen Wahrheit? Gibt es vielleicht feinsinnige Unterschiede zwischen den beiden, vielleicht auch nur ungefähr die Wahrheit? Gilt sie nur für mich oder für alle, nur heute oder immer?

In der Physik gibt es keine absolute Wahrheit. Die physikalischen Gesetze sind keine von irgendjemandem vorgegebenen festen Regeln, an die sich die Natur halten muss. Im Gegenteil, sie fassen nur zusammen, wie sich die Natur in einer gegebenen Situation bisher immer verhalten hat. Die Formulierung in einer gegebenen Situation ist absichtlich gewählt, denn physikalische Gesetze gelten häufig nur unter bestimmten Bedingungen und mit einer gewissen Genauigkeit. Alle physikalischen Gesetze können falsch sein, und damit auch alle Erkenntnisse, die wir in diesem Buch besprechen werden. Sämtliche Regeln und daraus abgeleiteten Schlussfolgerungen müssen kritisch hinterfragt werden. Nicht nur einige und nicht nur gelegentlich, sondern alle und immer.

Wie funktioniert dies im Einzelnen? Ein wichtiger Schritt ist das logische Ableiten von physikalischen Aussagen. Es gibt hierzu zwei grundsätzliche Wege, die deduktive und die induktive Logik. Deduktive Logik leitet aus zwei als wahr angenommenen Aussagen eine dritte ab. Diese neue Aussage muss ebenfalls wahr sein, wenn die ersten beiden wahr sind. Ist dies nicht der Fall, muss mindestens eine der beiden Ausgangsaussagen falsch sein. Nehmen wir ein Beispiel und wählen zwei Aussagen.

1. Alle Formen von Materie sind aus Atomen aufgebaut.

2. Holz ist eine Form von Materie.

Aus 1. und 2. können wir schließen,

3. Holz ist aus Atomen aufgebaut.

Definition images

Induktive Logik verallgemeinert eine für eine Auswahl von Objekten gefundene Aussage aufalle Objekte der gleichen Art. Auch hierzu ist ein Beispiel hilfreich.

1. Die ungeraden Zahlen 3, 5, 7, 9 und 11 sind nicht durch 2 teilbar.

Aus 1. folgern wir,

2. alle ungeraden Zahlen sind nicht durch 2 teilbar.

Man beachte, dass ein einziges Gegenbeispiel die Regel als falsch belegt. Induktive Logik hat auch ganz generell ihre Tücken. Es ist unmöglich zu beweisen, dass ein bestimmtes Verhalten oder ein Vorgang niemals auftreten wird. Wir können uns so viele Beispiele ansehen wie wir wollen, das Fehlen von Beweisen für den fraglichen Vorgang oder das gesuchte Verhalten ist kein Nachweis für dessen Fehlen. Sie mögen vorgeben, noch nie bei einer Prüfung geschummelt zu haben. Das Einzige, was wir anderen überprüfen können, ist, ob Sie schon einmal einschlägig aufgefallen sind. Der gesunde Menschenverstand sagt uns jedoch, dass nicht alle, die noch nie erwischt worden sind, auch wirklich unschuldig sind. Wundern Sie sich also bitte nicht, wenn Ihre Unschuldsbeteuerungen angezweifelt werden. Dies wird gelegentlich in der politischen Arena ausgenutzt, um Konkurrenten unter Druck zu setzen. Sobald ein Verdacht auf Fehlverhalten vorliegt, sagen wir Vorteilsnahme, fordert man, der werte Kollege von der anderen Partei möge jetzt nachweisen, dass er niemals (!) die eigenen Interessen über die Interessen des Staates gesetzt hat. Der Beschuldigte kann dies logisch gar nicht leisten und gerät daher noch stärker unter Druck, genau wie beabsichtigt.

Die sichere Vorgehensweise in der Physik ist, Modelle und Konzepte miteinander über deduktive Logik zu kombinieren, um quantitative und nachprüfbare Vorhersagen aufzustellen. Diese Vorhersagen können dann experimentell überprüft werden. Hierbei ist es oft interessanter, die Vorhersage nicht bestätigen zu können, weil dann eines oder mehrere der Modelle als falsch erkannt werden können.

Ein schönes Beispiel ist das Olbers’sche Paradoxon. Zwei Befunde werden miteinander kombiniert.

1. Die Helligkeit von Objekten am Himmel fällt mit dem Quadrat ihres Abstands ab.

2. Wenn die Objekte gleichmäßig im Universum verteilt sind, nimmt ihre Anzahl in einer bestimmten Entfernung mit dem Quadrat des Abstands zu.

Diese beiden Effekt kompensieren sich gerade. Aus 1. und 2. können wir daher schließen:

3. Aus jeder Entfernung sehen wir den gleichen Beitrag an Strahlung.

Wenn das Universum unendlich ausgedehnt wäre, müsste auch die Gesamthelligkeit unendlich sein. Dies wird offensichtlich nicht beobachtet, denn der Nachthimmel ist recht dunkel und nicht beliebig hell. Da wir tagsüber die Sonne sehr hell sehen und nachts das Band der Milchstraße ausmachen können, muss unser Abstand von der Sonne viel kleiner sein als der typische Abstand zwischen Sternen, denn die Sonne erscheint sehr viel heller als alle anderen Sterne zusammen. Auch die Milchstraße muss eine Anhäufung von Sternen darstellen, sonst könnten wir sie nicht als so helles Band am Himmel erkennen. Weiter muss es etwas geben, was den Strahlungsbeitrag aus sehr großen Entfernungen begrenzt, beispielsweise ein endliches Alter des Universums.

Nicht immer ist die Messung so einfach wie im Fall des Olbers’schen Paradoxons. Generell wird man erst einmal der eigenen Messung, dem eigenen Experiment misstrauen. Die Messunsicherheit ist zu untersuchen. Man prüft auch die Messapparatur und wiederholt die Messung. Außerdem ist es sinnvoll, ein zweites, unabhängiges Experiment durchzuführen. Wenn aber alle Messergebnisse eine logisch abgeleitete Schlussfolgerung widerlegen, muss wenigstens eine der zugrunde liegenden Modellannahmen falsch sein. Wir müssen also unser Modell ändern. Nichts am alten Modell ist außer Zweifel, oft reichen aber kleine Änderungen aus, die man dann auch wieder durch Experimente prüfen muss.

Alles klar, denken Sie. Vorsicht, sage ich. Was machen wir denn, wenn zwei Modelle die Prüfung durch unsere Experimente und Messungen bestehen? Welches von den Modellen ist denn jetzt das bessere, und kann ich überhaupt zwischen ihnen unterscheiden? An dieser Stelle darf ich Ihnen William of Ockham (oder Occam) vorstellen, einen Franziskanermönch und Philosophen, der sich zu Beginn des 14. Jahrhunderts mit diesen Fragen beschäftigt hat. Auf ihn geht das Sparsamkeitsprinzip zurück, das auch als Ockhams Rasierer bekannt ist. Kurz ausgedrückt besagt es, dass von zwei konkurrierenden Modellen im Zweifel das einfachere vorzuziehen ist. Einfach heißt hier, dass möglichst wenige willkürliche Annahmen notwendig sind. In der mathematischen Sprache der modernen Welt sagt man, dass möglichst wenige freie Parameter wünschenswert sind, also wenige Stellschrauben, mit denen man das Modell an eine Messung anpassen kann. Wir suchen also natürliches Verhalten, das mit wenigen, allgemeinen Gesetzen beschreibbar ist.

1.4 Grundlegende Methodik der Physik

Die Grundstrukturen der Physik sind Modellvorstellungen, die permanent durch Experimente, also Messungen, geprüft und weiterentwickelt werden. Die Modelle sind auf Konzepte aufgebaut, die ein Gerüst von genau definierten Begriffen liefern. In der folgenden Auflistung sind einige wesentliche Punkte aufgeführt, die wir in den nächsten Kapiteln weiterentwickeln werden.

• Konzept

1. grundsätzliche Beschreibung als Teilchen, Welle usw.

2. Definition physikalischer Zustandsparameter, beispielsweise Masse und Energie

• Modell

1. detaillierte und quantitative Beschreibung

2. präzise Formulierung

3. Gültigkeit muss prinzipiell überprüfbar sein (Falsifizierbarkeit)

4. eingeschränkter Gültigkeitsbereich möglich

• Beobachtung und Messung

1. quantitative Bestimmung des Verhaltens und der Zustandsparameter

2. Kontrolle der Umgebungsbedingungen

3. gleichzeitige Bestimmung der Messunsicherheit.

Wichtig zu wissen

Ich möchte betonen, dass alle Begriffe eine genaue Definition haben. Nur auf der Basis dieser Definition können physikalische Gesetze abgeleitet und im Experiment überprüft werden. Eine präzise Formulierung aller Aussagen ist daher von Anfang an unabdingbar. Die physikalische Definition von Begriffen ist häufig nicht identisch mit dem im Alltagsleben gebräuchlichen Verständnis. Es kommt daher immer wieder zu Verwirrung, wenn man die Begriffsdefinition der Physik nicht beachtet. Es gibt zwei Fachgebiete, die durch eigene Definitionen und genaue Formulierung eine eigene Sprache entwickelt haben. Das eine Gebiet ist die Physik, das andere Jura, die Rechtswissenschaft. Diese eigenen Sprachen hören sich so an wie Deutsch, müssen und können aber wie Fremdsprachen gelernt werden. Das Ganze ist weit weniger schlimm, als es klingt. Lassen Sie sich einfach fallen …

1) Ein Open-Source-Projekt ist Stellarium (www.stellarium.org). Letztes Zugriffsdatum ist Februar 2014.

Koordinaten, Geschwindigkeit und Beschleunigung

In diesem Kapitel…

Wie beschreibt man etwas quantitativ, also in seinem Ausmaß? Fangen wir mit der einfachsten Situation an, die man sich denken kann. Ignorieren wir die Form des Objekts unseres Interesses. Tun wir einfach so, als wäre es ein Punkt ohne jegliche Ausdehnung. Dieses idealisierte Objekt nennen wir ein Punktteilchen. In diesem Kapitel wollen wir physikalische Größen festlegen, die anzeigen, wo sich das Punktteilchen befindet und wie es sich bewegt.

2.1 Koordinaten

Wer kennt es nicht aus den Piratenspielen der Kindheit? Sie haben eine Schatzkarte gefunden, auf der sich Hinweise finden wie etwa der folgende: Von der toten Eiche gehe zwanzig Schritte nach Süden, dann dreißig Schritte auf die Bergspitze zu. In dieser Anweisung ist alles zu finden, was einen Ort nachvollziehbar festlegt. Es gibt eine Referenzposition, die tote Eiche. Weiter sind die Abstände in zwei unabhängige, feste Richtungen angegeben.

Unser Schatzsucher bewegt sich auf der Erdoberfläche, daher reichen zwei unabhängige Richtungen aus, um jeden möglichen Ort eindeutig beschreiben zu können. Im Allgemeinen sind drei unabhängige Richtungen erforderlich. Unabhängig sind die Richtungen genau dann, wenn sich keine als Kombination der anderen darstellen lässt. Diese drei Richtungen bilden zusammen mit dem Referenzpunkt ein Koordinatensystem, in dem die Richtungen durch Koordinatenachsen dargestellt werden. Die für jede der drei Richtungen zu wählenden Abstände nennen wir Koordinaten. Ein besonders einfaches Koordinatensystem geht auf den Franzosen René Descartes zurück. In dem nach ihm benannten kartesischen System stehen die Koordinatenachsen senkrecht aufeinander.

Abbildung 2.1 zeigt, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge man sich entlang der drei Koordinatenachsen bewegt, man kommt immer am gleichen Punkt an. Da sich die Position des Punkts ändern kann, können sich auch seine Koordinaten ändern. Wir identifizieren sie mit den Symbolen x, y und z. Für alle drei Koordinaten zusammen vereinbaren wir ein weiteres Symbol,

Abb. 2.1 In einem kartesischen Koordinatensystem geben die Koordinaten x, y und z die Abstände an, die in Richtung der jeweiligen Achsen zurückzulegen sind. Der Ortsvektor

ist gestrichelt dargestellt.

Der kleine Pfeil symbolisiert hierbei, dass in der Ortsbestimmung sowohlder Abstand vom Nullpunkt des Koordinatensystems als auch die Richtungeinbezogen ist. Derartige Größen, die sowohl einen Betrag als auch eineRichtung haben, nennen wir Vektoren.

Jede Einzelkoordinate steht für ein Wegstück. Um diese Strecke eindeutig angeben zu können, benötigen wir einen Maßstab, eine Einheit. Fast alle physikalischen Größen sind als Produkt einer Zahl und einer Einheit zu verstehen. Bei unseren Ortskoordinaten könnte die Einheit der Meter sein, also beispielsweise x = 7 m. Sie können natürlich auch Kilometer benutzen, also x = 0,007 km. Mit der Wahl der Einheit ändert sich der Zahlenwert. Wir müssen also immer klarmachen, welche Einheit wir benutzen.

Den Ort eines Punktteilchens beschreiben zu können, ist schon ganz gut. Besser wäre es, auch angeben zu können, wann das Teilchen am fraglichen Ort war. Wir müssen also die Zeit angeben. Die Physiker haben sich angewöhnt, das Symbol t für die Zeit zu benutzen. Eine passende Einheit ist die Sekunde, oft als s abgekürzt. Eine Zeitangabe könnte somit t = 4 s sein, genau genommen beschreibt diese Angabe jedoch eine Zeitdauer. Für eine vollständige Zeitinformation benötigen wir noch den Nullpunkt der Zeitmessung, ähnlich wie auch für die Ortsangabe die Kenntnis des Nullpunkts des Koordinatensystems erforderlich ist. Gut, jetzt können wir angeben, wann sich ein Teilchen wo aufhält.

Leider sind unsere Punktteilchen häufig beweglich, und wir müssen die Veränderung des Orts beschreiben. Für die Änderung einer physikalischen Größe werde ich in diesem Buch den griechischen Buchstaben δ benutzen. So wird images

für die Änderung des Ortsvektors images

stehen, analog dazu δt für ein Zeitintervall. Das Verhältnis der beiden ergibt die Geschwindigkeit, meistens bezeichnet durch das Symbol images

. Hierbei gilt

Auch die Geschwindigkeit ist aus drei Geschwindigkeitskomponenten aufgebaut, ist also ein Vektor, der Auskunft über den Geschwindigkeitsbetrag und die Richtung der Bewegung gibt.

Zwei Aspekte möchte ich betonen. Erstens hat auch die Geschwindigkeit eine Einheit. Man kann sie direkt aus den Einheiten der Ortsänderung unddes Zeitintervalls ableiten, Meter und Sekunde. Die Geschwindigkeit ist das Verhältnis von Ortsänderung und Zeitintervall, und damit ist die Einheit der Geschwindigkeit auch das Verhältnis von Meter und Sekunde, kurz m/s.

Mein zweiter Hinweis gilt dem Nullpunkt unseres Koordinatensystems, der keine Rolle für die Berechnung von Abständen oder Ortsveränderungen spielt. Sie erkennen das, wenn Sie x₀ als neuen Nullpunkt für die x-Koordinaten ansetzen. Sie erhalten dann neue Koordinaten, die ich hier durch einen Strich kennzeichnen werde, also x’ = x — x₀. Die Differenz zweier Koordinaten images

und

beträgt

also genau so viel wie der Abstand ausgedrückt in den ursprünglichen Koordinaten. Eine solche Eigenschaft haben wir gerne. Wir können den Nullpunkt unseres Koordinatensystems so wählen, wie es für uns am bequemsten ist.

Schwindelfrei gehen wir einen Schritt weiter und definieren die Beschleunigung als die Rate der Geschwindigkeitsänderung. Das meistverwendete Symbol ist images

, und es gilt

Sie haben bereits erkannt, dass auch die Beschleunigung ein Vektor ist, also Betrag und Richtung hat. Und die Einheit? Kein Problem für Sie, natürlich haben wir die Geschwindigkeitseinheit durch eine Zeiteinheit zu teilen, und somit ergibt sich m/s².

Die Beschleunigung ist immer dann von null verschieden, wenn sich wenigstens eine der Geschwindigkeitskoordinaten ändert. Der Geschwindigkeitsbetrag mag konstant sein, aber wenn Sie die Richtung ändern, also eine Kurve fahren, ändern sich die Geschwindigkeitskoordinaten, und ihre Bewegung ist beschleunigt. Eine nicht beschleunigte Bewegung erfolgt mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag in die immergleiche Richtung.

2.2 Bewegungsgesetze

Die Formeln 2.2 und 2.4 drücken zunächst nur aus, was wir mathematisch unter Geschwindigkeit und Beschleunigung verstehen. Sie beschreiben den Zusammenhang zwischen diesen beiden physikalischen Größen. Es sind Gleichungen, die man nach den Regeln der Algebra verändern kann. Gleichungen fassen eine Folge von Rechenoperationen zusammen, wobei die so verknüpften Zahlen unbekannt sind und durch Symbole vertreten werden. Es wird mit den Symbolen gerechnet, als wären es Zahlen. Man kann auch neue Rechenoperationen hinzufügen, wobei wichtig ist, dass links und rechts des Gleichheitszeichens die gleiche Rechenoperation durchgeführt wird. Wir können beispielsweise die Formeln 2.2 und 2.4 mit δt multiplizieren und erhalten

Hier und im weiteren Text werden Multiplikationspunkte in den Formeln weggelassen. Machen wir uns klar, dass dies eigentlich keine neuen Formeln sind, sondern nur Umstellungen der schon bekannten Formeln. Die erste der beiden Gleichungen in 2.5 ist nur dann einfach, wenn die Geschwindigkeit konstant ist, also keine Beschleunigung vorliegt. Bei einer Bewegung, die aus dem Stillstand konstant beschleunigt wird, ist der Zusammenhang zwischen Ortsveränderung images

und Zeitintervall δt

Abb. 2.2 Der Zusammenhang zwischen der Zeit t und dem Geschwindigkeitsbetrag v (t) (a) sowie zwischen der Zeit t und dem Betrag der Ortsänderung x(t) (b), jeweils für eine konstante Beschleunigung vom Betrag a = 9,8 m/s².

Mathematische Darstellung der Bewegungsgesetze

Mathematisch betrachten wir den Ort images und die Geschwindigkeit images als Funktionen der Variablen t, also der Zeit. Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit t, analog ist die Beschleunigung die Ableitung des Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit. Umgekehrt ist die Ortsänderung das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit, hier beginnend zum Zeitpunkt t =0.

(2.7) images

Vollkommen entsprechend gilt für die Geschwindigkeitsänderung

(2.8) images

In unserem Beispiel nehmen wir an, Anfangsort und -geschwindigkeit wären images und images , außerdem soll die Beschleunigung konstant sein. Dann gilt images und

(2.9) images

Dieser Zusammenhang ist identisch zu Formel 2.6 und in Abb. 2.2 grafisch dargestellt.

2.3 Galileis Fallexperimente

Galileo Galilei, der Sohn einer verarmten, aber noblen Florentiner Familie, hat sich zu Beginn des 17. Jahrhunderts zwei Fragen gestellt. Erstens, ist die Schwerebeschleunigung konstant? Zweitens, ist die Schwerebeschleunigung für alle Materialien die gleiche? Beide Fragen konnte er mit ja beantworten, aber wie geht man dabei eigentlich vor? Galileis Methode bestand aus vier Schritten.

1. Erstelle eine idealisierte Beschreibung.

2. Wandle mithilfe der Mathematik deine Erwartung in messbare Größen.

3. Ändere die Bedingungen, ohne Grundlegendes zu ändern.

4. Wenn möglich, unterdrücke Störeinflüsse wie zum Beispiel Reibung.

Auch heute noch werden physikalische Experimente mit derselben Methode konzipiert. Gehen wir also die Punkte mal der Reihe nach durch. Teil 1 haben wir schon erledigt, denn wir haben die Materialien als Punktteilchen idealisiert. Punkt 2 ist auch schon geschafft, im Kasten vorgeführt und in Abb. 2.2 grafisch dargestellt. Wie können Störeinflüsse minimiert werden? Zunächst einmal können wir den zu messenden Effekt maximieren. Schwerebeschleunigung ist nach unten gerichtet, es bietet sich also an, Dinge senkrecht nach unten fallen zu lassen. Einzelnen Berichten zufolge hat Galilei Gegenstände vom schiefen Turm von Pisa herunterfallen lassen, wie in Abb. 2.3 schematisch dargestellt. Die Höhe des Turms, H = 56 m, gibt die Fallstrecke vor, er braucht also nur noch die Zeit zu messen, die zwischen dem Loslassen des Gegenstands und seinem Aufprall auf dem Boden vergeht. Lässt man etwas Massives - sagen wir einen Ziegelstein – fallen, ist der Einfluss des Luftwiderstands klein. Die Bedingungen lassen sich auch ändern: Galilei muss seinen Ziegelstein nur einmal auf halber Höhe aus dem Fenster fallen lassen.

Abb. 2.3 Illustration der Galilei’schen Fallversuche am schiefen Turm von Pisa. Gemessen wird die Zeit, die ein Gegenstand benötigt, um die Fallstrecke H zurückzulegen. Die Fall-zeit von der Spitze des Turms bis zum Boden (H = 56 m) ist etwa t = 3,4 s. Der Betrag der Schwerebeschleunigung an der Erdoberfläche beträgt daher etwa a = 9,8 m/s².

Was genau muss er nun tun, um die erste Frage zu beantworten, ob die Schwerebeschleunigung konstant ist? Lassen wir Galilei die Fallzeit eines Ziegelsteins vom Dach des Turms bis zum Boden messen. Er hat nun einen Zahlenwert für die Höhe H und einen Zahlenwert für die Fallzeit t. Der Zahlenwert der Schwerebeschleunigung ist noch nicht bekannt. Setzen wir in Formel 2.6 für die Ortsänderung H ein und für das Zeitintervall t, dann liefert die Formel einen Wert für die Beschleunigung. Um zu zeigen dass die Schwerebeschleunigung wirklich konstant ist, muss Galilei für verschiedene Fallhöhen H solche Fallzeiten t messen, dass sich in Formel 2.6 immer die gleiche Beschleunigung ergibt. Um die zweite Frage zu beantworten, ob die Schwerebeschleunigung für alle Materialien die gleiche ist, muss er verschiedene Materialien fallen lassen, vielleicht einen größeren Ziegelstein oder eine eiserne Kanonenkugel.

2.4 Messunsicherheit

Galileis Fallversuche sind die ersten Experimente, mit denen wir uns näher beschäftigen. Jedes Experiment wird mit einer gewissen Messunsicherheit durchgeführt, die seine Aussagekraft einschränkt. Ebenso, wie wir ein Verständnis physikalischer Prozesse entwickeln können, ist auch ein Verständnis der Unsicherheit von Messungen und Aussagen lernbar. Beide Arten von Verständnis sind ganz allgemein nützlich, weil Sie Ihren Sinn für die wesentlichen Prozesse und die Unsicherheiten in Messung und Prognose auf praktisch alle Vorgänge des täglichen Lebens anwenden können. Im Umgang mit Anlageberatern und Versicherungsvertretern kann es dann zu ganz neuen Einsichten kommen.

Zurück zu Galilei. Die maximale Fallhöhe bei seinen Experimenten ist wahrscheinlich 56 m, denn der Turm von Pisa ist nicht höher. Entweder in Formel 2.9 oder der rechten Grafik in Abb. 2.2 können Sie ablesen, dass mit der normalen Fallbeschleunigung von a = 9,8 m/s² etwa 3,4 s bis zum Aufprall auf dem Boden vergehen. Wenn Galilei Gegenstände aus niedrigerer Höhe fallen lässt, dauert der Fall etwas weniger als 3,4 s. Wie gut kann man eigentlich eine solche Zeitdauer messen?

Galilei hatte noch keine mechanischen Stoppuhren zur Verfügung, mit denen man auf etwa 0,1s genau messen kann. Seine Messung wird viel schlechter gewesen sein, nehmen wir also für den typischen Fehler der einzelnen Messung mal Δt = 0,5 s an (ich benutze hier den griechischen Großbuchstaben Delta, um eine Verwirrung mit dem kleinen Delta zu vermeiden, das wir vorhin für Zeitintervalle verwendet haben). Setzen wir Δt = 0,5 s zur Fallzeit ins Verhältnis, also zu maximal 3,4s, erhalten wir den relativen Fehler. In diesem Beispiel beträgt der relative Fehler mindestens 0,15 oder 15%.

	Beschleunigung, wobei der Pfeil anzeigt, dass es sich um einen Vektor handelt
A	Fläche, Flächeninhalt
c	Betrag der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, etwa 300 000 km/s
C	Beliebige Konstante
δ	Vorgestellt anderen Größen deren Veränderung, also beispielsweise δx eine Verschiebung des Orts
Δ	Vorgestellt anderen Größen deren Unsicherheit oder Abweichung, also beispielsweise Δt die (Mess-)Unsicherheit der Zeit
E	Energie, speziell E_kin und E_pot für die kinetische beziehungsweise potenzielle Energie
	Elektrische Feldstärke
	Kraft
f	Frequenz
Γ, γ	Lorentzfaktor
h	Höhe, Höhenunterschied, Tiefe
I	Elektrische Stromstärke
	Drehimpuls
λ	Wellenlänge
m, M	Masse
V	Symbol des Neutrinos
	Impuls
P	Leistung
p	Druck
φ	Wellenfunktion in der Quantenphysik
Q_q	Elektrische Ladung
r	Radius, Abstand
ρ	Massendichte
t	Zeit
T	Temperatur
	Geschwindigkeit
U	Elektrische Spannung
V	Volumen
W	Arbeit
	Ortsvektor, = (x, y, z)
x, y, z	Ortskoordinaten

c	Lichtgeschwindigkeitsbetrag im Vakuum, c = 3 × 10⁸ m/s
e	Elementarladung, e = 1,6 × 10^{– 19}C
G	Gravitationskonstante, G = 6,7 × 10^{– 11} m³ s^{– 2} kg^–1
h	Planck’sches Wirkungsquantum, h = 6, 7 × 10^{– 34}Js
k	Boltzmann’sche Konstante in der kinetischen Gastheorie, k = 1,4 × 10^{– 23}JK^{– 1}. Siehe auch
k	Konstante der elektrischen Kraft, k = 9 × 10⁹ N m² C^{– 2}
m_e	Elektronenmasse, m_e = 9 × 10^{– 31} kg
m_p	Protonenmasse, m_p = 1,7 × 10^{– 27}kg

Druck	Pascal, kurz Pa, 1 Pa = 1N m^{– 2}
Energie, Arbeit	Joule, kurz J, 1J = 1Nm = 1kgm² s^{– 2}. Für Strahlung oder Atome ist das Elektronenvolt nützlich, kurz eV, 1 eV = 1,6 × 10^{– 19} J
Frequenz	Hertz, kurz Hz, 1 Hz = 1 s^{– 1}
Kraft	Newton, kurz N, 1 N = 1 kgms^{– 2}
Ladung	Coulomb, kurz C, 1 C = – 6,2 × 10¹⁸ Elektronenladungen
Länge	Meter, kurz m
Leistung	Watt, kurz W, 1W = 1J s^–1 = 1kgm² s^–3
Masse	Kilogramm, kurz kg
Spannung	Volt, kurz V, 1V = 1JC^{– 1}
Strom	Ampère, kurz A, 1A = 1C s^{– 1}
Temperatur	Kelvin, kurz K, im Alltagsleben aber Grad Celsius, wobei der absolute Nullpunkt der Temperatur bei etwa –273°C liegt.
Zeit	Sekunde, kurz s

Philosophie:	Suche nach dem Verständnis der wahren Natur der Dinge.
Religion:	Erkenntnis der Rolle und Botschaft der Götter.
Wissenschaft:	Beobachtung der Natur, Modellentwicklung und Vorhersage des Verhaltens der natürlichen Umgebung.